高斯求和公式

$$ S{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2} 和 S_{n}=\frac{n[2a_{1}+(n - 1)d]}{2} $$

例题：求等差数列2,4,6,…,98,100各项之和。

解答：观察数列，首项a1=2，末项a2=100，公差d=2，项数n=50

代入公式 (1)

$$ S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{50\times(2 + 100)}{2}=2550 $$

代入公式（2）

$$ S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d = 50\times2+\frac{50\times(50 - 1)}{2}\times2 = 2550 $$

平方和公式

平方和公式最重要，只要记住这一个公式，无论是偶数平方和还是奇数平方和，都能最终转变成用平方和公式来计算出最终答案。

$$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $$

偶数平方和公式

$$ 2^2 + 4^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} $$

$$ 2^2 + 4^2 + \cdots + (2n)^2 = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3} $$

奇数平方和公式

$$ 1^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} $$

$$ 1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3} $$

立方和公式

$$ 1^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + n)^2 $$